[试题]

试题四（15分）
阅读下列说明和C代码，回答问题1至问题3，将解答写在答题纸的对应栏内。
(说明)
某工程计算中要完成多个矩阵相乘（链乘）的计算任务。
两个矩阵相乘要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，计算量主要由进行乘法运算的次数决定。采用标准的矩阵相乘算法，计算AmnBnp，需要mnp次乘法运算。
矩阵相乘满足结合律，多个矩阵相乘，不同的计算顺序会产生不同的计算量。以矩阵A110100，A21005，A3550三个矩阵相乘为例，若按（A1A2）A3计算，则需要进行101005+10550=7500次乘法运算；若按A1（A2A3）计算，则需要进行100550+1010050=75000次乘法运算。可见不同的计算顺序对计算量有很大的影响。
矩阵链乘问题可描述为：给定n个矩阵<A1,A2,….An>，矩阵Ai的维数为pi-1Pi，其中i = 1,2,….n。确定一种乘法顺序，使得这n个矩阵相乘时进行乘法的运算次数最少。
由于可能的计算顺序数量非常庞大，对较大的n，用蛮力法确定计算顺序是不实际的。经过对问题进行分析，发现矩阵链乘问题具有最优子结构，即若A1A2…An的一个最优计算顺序从第k个矩阵处断开，即分为A1A2….Ak和Ak+1Ak+2…An两个子问题，则该最优解应该包含A1A2…Ak的一个最优计算顺序和Ak+1Ak+2…An的一个最优计算顺序。据此构造递归式，
其中，cost[i][j]表示Ai+1Ai+2...Aj+1的最优计算的计算代价。最终需要求解cost[0][n-1]。
(C代码)
算法实现采用自底向上的计算过程。首先计算两个矩阵相乘的计算量，然后依次计算3个矩阵、4个矩阵、…、n个矩阵相乘的最小计算量及最优计算顺序。下面是算法的C语言实现。
（1）主要变量说明
n：矩阵数
seq[]：矩阵维数序列
cost[][]：二维数组，长度为nn，其中元素cost[i][j]表示Ai+1Ai+2…Aj+1的最优计算的计算代价
trace[][]：二维数组，长度为nn，其中元素trace[i][j]表示Ai+1Ai+2Aj+1的最优计算对应的划分位置，即k
（2）函数cmm
define N 100
intcost[N][N];
inttrace[N][N];
int cmm(int n,int seq[]){
int tempCost;
int tempTrace;
int i,j,k,p;
int temp;
for( i=0;i<n;i++){ cost[i][i] =0;}
for(p=1;p<n;p++){
for(i=0; （1） ;i++){
（2）;
tempCost = -1;
for(k = i;k<j;k++){
temp = （3） ;
if(tempCost==-1||tempCost>temp){
tempCost = temp;
（4）；
}
}
cost[i][j] = tempCost;
trace[i][j] = tempTrace;
}
}
return cost[0][n-1];
}
(问题1)（8分）
根据以上说明和C代码，填充C代码中的空（1）~（4）。
(问题2)（4分）
根据以上说明和C代码，该问题采用了（5）算法设计策略，时间复杂度（6）。（用O符号表示）
(问题3)（3分）
考虑实例n=6，各个矩阵的维数：A1为510，A2为103，A3为312，A4为125，A5为550，A6为506，即维数序列为5,10,3,12,5,50,6。则根据上述C代码得到的一个最优计算顺序为（7）（用加括号方式表示计算顺序），所需要的乘法运算次数为（8）。